今回は誘導性リアクタンスXl,容量性リアクタンスXcに関する記事になります。
第3種電気主任技術者の参考書にはこれらの導出方法は記載されていないと思います。
今回はこれらを導出します。
それでは、いってみましょう。
まずはじめに
これを証明するためには積分、微分を使います。
第3種電気主任技術者の試験では、これを使えなくても問題はありません。
“このような考え方をして求めているんだな”というくらいに見ていただけるくらいで良いと思います。
Xl=ωLについて
使う材料は、積分とレンツの法則です。
交流回路なので、v=Vmsinωt・・・①とします。
v:電圧[V]、Vm:電圧の最大値[V],ω:角周波数[rad/s],t:時間[s]
レンツの法則より、
v=L*(di/dt)
L:インダクタンス[H],i:電流[A],t:時間[s]
となります。
この式を変形させると
di=v/L*dtとなります。これに①式を代入して、時間で積分すると
i=∫di=(1/L)*∫vdt=(Vm/L)*∫(sinωt)dt
(注:∫=インテグラルと呼びます。積分するという意味です。)
∫(sinωt)dt=(-1/ω)cosωt=(1/ω)sin(ωt-π/2)になるので
i=(Vm/ωL)sin(ωt-π/2)・・・②
赤字の-π/2に注目します。
V=Vmsin(ωt+0)でしたね。
ここからわかるのは、電流は電圧に対して位相がπ/2遅れているということです。
①、②を実効値になおすと,実効値V,Iは
V=Vm/√2 ・・・③
I=(Vm/ωL*√2)・・・④
となります。③/④をすると容量リアクタンスXlは
V/I=Xl=ωL
となります。
Xc=1/ωCについて
式を導くためには、微分と電流の定義式i=dq/dt・・・⑤,q=Cv・・・⑥を使います。
q:電荷量[C],C:容量[F]
交流回路なので、先ほど同様v=Vmsinωt・・・①とします。
⑥式に①を代入すると
q=CVmsinωt
これを⑤式に代入すると
i=(CVm)*d(sinωt)/dt・・・⑦
(注:d(sinωt)/dtはsinωtを時間tで微分するという意味です。)
d(sinωt)/dt=ωcosωt=ωsin(ωt+π/2)になるのでこれを⑦に代入すると
i=(ωCVm)sin(ωt+π/2)・・・⑧
赤字の+π/2に注目します。
V=Vmsin(ωt+0)でしたね。
ここからわかるのは、電流は電圧に対して位相がπ/2進んでいるということです。
⑧を実効値表示すると
I=(ωCVm)/√2・・・⑨
となります。③/⑨をすると容量リアクタンスXcは
V/I=Xc=1/ωC
と求めることができました。
このようにして誘導性リアクタンスXl、容量性リアクタンスXcを求めることができました。
本日はここまでです、毎度ありがとうございます。
