平行板コンデンサの容量C[F]は
$$ C=εS/d $$
ε:誘電率,S:極板面積[m^2],d[m]:極板間距離
となりますが、なぜそうなるのか?という解説が参考書にはあまりないように思えます。
今回はこの式を求めてみました。
それではいってみましょう。
考え方
ガウスの法則を使って電界を求める
電圧を求める
実験式Q=CVと求めた式を比較してCを求める
という流れで進めていきます。
ガウスの法則を使って電界を求める
この法則ででてくるキーワードは2つです。
電気力線
電界
電気力線=”電界の様子を仮想的に線を使って表したもの”です。
誘電率εの物質中に点電荷Q[C]を置いたときに電荷からは図のように放射上にQ/ε[本]の電気力線がでていると表現します。
続いて電界についてですが、簡単に言うと、単位面積あたりの電気力線の本数が電界になります。
図を使ってこれを説明すると
点電荷における単位面積あたりの電気力線の本数は
$$ N/S=Q/4πεr^2 $$
となり、電界を求めることができます。これがガウスの法則の考え方です。
それでは、ガウスの法則を使って平行板コンデンサの場合の電界を求めてみます。
図を使って求めてみると
$$ E=Q/εS・・・① $$
(Q[C]:電荷量,S[m^2]:平行板コンデンサの電極面積)
になります。
電圧を求める
電圧を求めるために抑えておかなければならないことがあります。
電位
電圧(電位差)
電位=”電界中において単位正電荷(+1C)が持つ位置エネルギー”です。
電圧=”電位と電位の差”になります。図を使って説明すると
この場合の電位差はV=Vb-Va=V-0=V[V]となります。
電圧を平行板コンデンサを使ってもう少し具体的に説明すると、
電圧は電界の力に反して帯電している電極板から距離d[m]先の他の電極板まで+1[C]の単位電荷を移動させるために必要なエネルギーという意味です。
図に示すとこんな感じです。
電極間の電圧(電位差)は
V=Vb-Va=V-0=E*d[V]・・・②
となります。
この式の流れをイメージしにくい場合は、物質の位置エネルギーと比較するとイメージしやすいと思います。
物質の位置エネルギーは
位置エネルギーは重力による力F=mg[N]の力に反して距離h[m]上に物質を移動させるために必要なエネルギーでしたね。
この位置エネルギーWはF*d(=mgd)と表していました。
この位置エネルギーWを電圧、重力による力Fを電界Eと対応させると式のイメージがしやすいと思います。
②式に①式を代入すると
V=E*d=Qd/εS・・・③
となりました。
実験式Q=CVと求めた式を比較してCを求める
Q=CV
Q[C]:電荷量,C[F]:コンデンサ容量,V[V]:電圧
この式は実験式ですので、覚えてください。これを知らないとコンデンサの問題は歯が立ちません。。
③式をQ=CVの形にすると
$$ Q=εS/d*V $$
この式とQ=CVを比較すると
C=εS/dと求めることができました。
本日はここまでです。毎度ありがとうございます。
