コンデンサに蓄えられる静電エネルギーW[J]は
$$ W=CV^2/2 $$
と参考書などでは書かれています。
“1/2ってどこから出てきたの!?”と思われた方は私以外にもいると思います。
参考書に理由を記載しているものを見ますが、私はあの説明に納得していません。
今回は、私が調べた中で一番納得できた理由を記事にしました。
それでは、いってみましょう。
最初に抑えておかなければならないこと
ここで抑えておかなければならないことは、
“電圧を加えた時点ではコンデンサには電荷がたまっていない”
つまり、コンデンサの場合は時間により電荷が変化します。
ある時間が経過して電荷Q[C]がコンデンサに貯まります。
負荷回路が抵抗R[Ω]のみの場合、電圧V[V]を加えた瞬間に電流I[A]流れます。
この電流は時間が経過してもI[A]で一定です。
よって、抵抗で消費する電力はV*I=RI^2となります。
コンデンサに貯まる電荷が時間の経過によって変化するため、
単純に静電エネルギー(W)=Q*V=CV^2とはならないのです。
静電エネルギーを求めるためには、コンデンサに電荷を蓄えていく様子を見ていく必要があります。
考え方
回路図です。
電荷Q[C]をn当分した微小電荷q[C]を一個ずつコンデンサに蓄えていくことを考えます。
q=Q/nになります。
静電エネルギーを求めるためには
①,電界を求める
②,微小電荷q[C]が移動するときに電界からうける力を求める
③,微小電荷q[C]が電界からの力に逆らってd[m]移動したときに、外部からうけるエネルギーを求める
④,①~③をn回繰り返し、③をn回足し合わせたtotalエネルギーを求める
という流れになります。
まず微小電荷q[C]をコンデンサのプラス極に移動させる場合を考えます。図のような状況です。
この時はコンデンサの+極に電荷がないため、電界E1は
$$ E1=0[V/m] $$
です。電界からうけるクーロン力FはF=q*Eとなるので、F1は
$$ F1=q*0=0[N] $$
外部からうけるエネルギーWはW=F*dとなるので、W1は
$$ W1=0*d=0[J] $$
になります。
次に2個目のqをコンデンサに蓄える場合を考えます。図のようになります。
この時はコンデンサの+極にpの電荷が1個あるため、電界E2は
$$ E2=q/εS $$
この電界からうけるクーロン力F2は
$$ F2=q*E2=q^2/εS $$
外部からうけるエネルギーW2は
$$ W2=F2*d=q^2d/εS $$
その次に3個目のqをコンデンサに蓄える場合を考えます。図のようになります。
この時はコンデンサの+極にpの電荷が2個あるため、電界E3は
$$ E3=2q/εS $$
この電界からうけるクーロン力F3は
$$ F3=q*E3=2q^2/εS $$
外部からうけるエネルギーW3は
$$ W3=F3*d=2q^2d/εS $$
続いて4個目のqをコンデンサに蓄える場合を考えます。図のようになります。
この時はコンデンサの+極にpの電荷が3個あるため、電界E4は
$$ E4=3q/εS $$
この電界からうけるクーロン力F4は
$$ F4=q*E4=3q^2/εS $$
外部からうけるエネルギーW4は
$$ W4=F4*d=3q^2d/εS $$
法則性が見えてきましたね。
N個目の微小電荷については図を見てください、n-1個の微小電荷がプラス極にあります。
外部から受けるエネルギーWnは
$$ Wn=(n-1)q^2d/εS $$
それではW1,W2,W3,・・・,Wnを全て足し合わせてtotalのエネルギーWを求めます。
$$ W=W1+W2+・・+Wn=0+q^2d/εS+2q^2d/εS+・・+(n-1)q^2d/εS $$
$$ W=q^2*d/εS*{0+1+2+・・・+(n-1)}=q^2d(n-1)n/2εS $$
注:1+2+・・+(n-1)=(n-1)n/2になります。高校の数学で習います。
Q=nqと決めたのでこの式に代入します。またC=εS/dなので、
$$ W=(nq)^2d(1-1/n)/2εS =Q^2(1-1/n)/2C $$
n→∞にすると1/n→0になること、またQ=CVより、
$$ W=Q^2/2C=CV^2/2[J] $$
となり、コンデンサに蓄えられる静電エネルギーを求めることができました。
本日はここまでです、毎度ありがとうございます。