今回は図のような無限に長い直線電流がつくる磁界(H=I/2πa)を求めます。
“え、、、そんなのアンペールの周回積分の法則を使えば簡単じゃないか!”と思われる方。
お客様、その通りです。
今回はあえてビオ・サバールの法則を使っこの式を求めたいと思います。
第2種電気主任技術者の一次試験の理論では、この法則を使って積分問題を解かせる問題がたまにあります。
よって、今回はビオ・サバールの法則や積分を使いたい人向けの記事になります。
それでは行ってみましょう。
求めるために使用する材料
ビオ・サバールの法則
積分
ビオ・サバールの法則についての説明は別の記事に記載しております。
考え方
直線導体にビオ・サバールの法則を適用します。
図のように値を仮定しました。
微小磁界dH[A/m]は
$$ dH=Idlsinθ/(4πr^2)・・・① $$
になります。
ここからどのようにして直線電流の磁界Hを求めるかといいますと。。
①式からわかることは変数がdl,θ,rの合計3つもあります。
3変数を使って計算するのは非常に私はきついです。。
よって、①式のdl,rをθに変換し、変数をθのみにします。
変数をθのみにしたら①式を積分して直線電流の磁界Hを求めます。
rをθに変換する
a/r=cos(θ-π/2)=sinθ
r=a/sinθ・・・②
となりθに変換できました。
dlをθに変換する
次は図のこの部分を拡大して,dlについて考えます。
拡大して図が下になります。
微小角度dθ時の円弧の長さ(赤い部分)はrdθになります。
dl=rdθになる理由が知りたいかたはこちらをどうぞ
rdθ付近をさらに拡大したものが図になります。
図より、rdθ/dl=cos(θ-π/2)=sinθ
dl=rdθ/sinθ・・・③
③式に②式を代入すると
$$ dl=adθ/(sin^2 θ)・・・④ $$
やっとdlをθに変換することができました。
積分する範囲を決める
積分する前にθをどこまで積分すればよいのかを決める必要があります。
そのために、lをθを用いて表してみましょう。
l=a*tan(θ-π/2)・・・⑤
電流が流れる導体は題意より無限に長いです。
lを積分する範囲は-∞ ≦ l ≦ ∞になります。
これを⑤に入れます。
l → -∞ ⇒ θ → 0
l → ∞ ⇒ θ → π
となりθを積分する範囲は 0 ≦ θ ≦ π になります。
積分します
①式に②、④式を代入します。
dH=I*(adθ/(sinθ)^2)*sinθ/(4π(a/sinθ)^2) = I/(4πa)sinθdθ
これを 0 ≦ θ ≦ πまで積分するとHは
$$ H = \int_0^π dH = I/(4πa) \int_0^π sinθdθ $$
$$ \int_0^π sinθdθ=[-cosθ]=[-cosπ-(-cos0)]=2 $$になるので
H=I/(2πa)となりました。
今回はここまでです、毎度ありがとうございました。
