図に示した送電線のたるみの長さについて、公式があります。たるみD[m]は
D=wS^2/8T
W[N/m]:単位長さ当たりの荷重
S[m]:径間の長さ
T[N]:支持点における電線の水平張力
で表されています。
今回はこの式の導き方を調べました。
難しい用語を使ったりしますので、”このようにしてこの式は導き出しているのか”という感じでみていただけると良いと思います。
それでは、いってみましょう。
カテナリー曲線を2次曲線に近似する
紐の両端を持ってたらした曲線は
y=a(e^x/a + e^−x/a)/2・・・①
という式で表すことができるそうです。これをカテナリー曲線と呼んでいます。
この式をマクローリン展開という方法を使って原点付近で2次曲線近似すると、
e^x/a≃1+x/a+x^2/(2a^2)・・・②
e^−x/a≃1-x/a+x^2/(2a^2)・・・③
となるそうです。その結果、①式に②、③式を代入すると
y=x^2/2a+a
と表すことができます。今回は最小値を0とするので
y=x^2/2a・・・④
とします。
このようにして、カテナリー曲線を2次式に近似しました。
2次曲線の傾きを求める
④式を微分して傾きを求めます。
dy/dx=x/a・・・⑤
次に、図から力のつりあいを考えます。
T0,T[N]:両端にかかる張力
T0conθ=T
T0sinθ=W
tanθ=sinθ/cosθ=W/T・・・⑥
⑤式の傾き(1/a)が⑥式で求めた傾きと等しくなるので、
1/a=W/T・・・⑦
④式に⑦式を代入して、x=S/2を代入し、yをDに置き換えると
y=D=1/2*W/T*(S/2)^2=WS^2/8T
となり求めることができました。
カテナリー曲線、マクローリン展開、微分を使って証明していることがわかりました。
このような理由から、たるみの公式は覚えちゃったほうがよいですね。
本日はここまでです、毎度ありがとうございます。
カテナリー曲線の考えを使わずに公式を証明した記事もあります。
導出レベルは電験2種、3種の領域を超えています。それでも興味がある方はみてください。
