皆様、なぜなぜシリーズではお久しぶりです。
今回は電線のたるみ、長さの公式を求めます。こんな公式でした。
$$ たるみ=D=\frac{WS^2}{8T}$$
$$ 線の長さ=l=S+\frac{8D^2}{3S} $$
(たるみは以前導出していますが、今回はそれ以上にしっかり証明させていただきます)
公式を証明する前に、証明するための武器を示します。
*微分(まあまあ高度です。。)
*積分(結構高度です。。。)
*マクローリン展開(大学の数学でやったような。。。。)
証明するためには2種、3種の範囲を超える知識を使います。
よって、興味のある方のみ見てください。
他のサイトで電線のたるみ、長さを求めているものもあるのですが、若干導出方法が違っているので記事にすることにしました。
それでは、いってみましょう。
たるみ、線の長さの証明
電線を図示してみました。電線を赤線で示しました。
D[m]:たるみ,S[m]:径間の長さ,T[N]:電線の水平張力,W[N/m]:単位長さ当たりの荷重,l[m]=線の長さ
それでは、電線のたるみ、長さを求めていきます。
1,ある点の電線の傾きを求める
力の関係を図で示すとこんな感じになります。
θ[rad]:なす角,T0:電線の張力
図より傾き(dy/dx)は
$$ \frac{dy}{dx}=tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{Wl}{T}・・・① $$
①をxで微分すると
$$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{W}{T}\frac{dl}{dx}・・・② $$
2,dlとdx,dyの関係
電線の微小部分を図示するとこんな感じです。
3平方の定理より
$$ dl=\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+(dy/dx)^2} $$
$$ \frac{dl}{dx}=\sqrt{1+(dy/dx)^2}・・・③ $$
②に③を代入すると
$$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{W}{T}\sqrt{1+(dy/dx)^2} $$
p=dy/dxとおくと
$$ \frac{dp}{dx}=\frac{W}{T}\sqrt{1+p^2} $$
$$ \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{W}{T}dx $$
両辺を積分すると
$$ \int_{}^{}\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}= \frac{W}{T}x+C・・・④ $$
C:積分定数
ここで
$$ t=p+\sqrt{1+p^2}$$
とおいて、この式の両辺をpで微分すると
$$ \frac{dt}{dp}=1+\frac{1}{2}\frac{2p}{\sqrt{1+p^2}}=1+\frac{p}{\sqrt{1+p^2}} $$
$$ =\frac{p+\sqrt{1+p^2}}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{t}{\sqrt{1+p^2}} $$
この式を整えると
$$ \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{dt}{t}・・・⑤ $$
④に⑤を代入すると
$$ \int_{}^{}\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}= \int_{}^{}\frac{dt}{t}=lnt $$
$$ =ln(p+\sqrt{1+p^2})=\frac{W}{T}x+C $$
この式のCを求めます。x=0,y=0⇒dy/dx=p=0より
$$ \frac{W}{T}0+C=ln(0+\sqrt{1+0^2})=ln1=0 $$
C=0、よって
$$ \frac{W}{T}x=ln(p+\sqrt{1+p^2})$$
この式の対数表示を指数表示にかえると
$$ e^{\frac{W}{T}x}=p+\sqrt{1+p^2}・・・⑥$$
⑥の両辺逆数をとると
$$ e^{-\frac{W}{T}x}=\frac{1}{p+\sqrt{1+p^2}} $$
$$ =\frac{\sqrt{1+p^2}-p}{(\sqrt{1+p^2}+p)(\sqrt{1+p^2}-p)}=\sqrt{1+p^2}-p・・・⑦$$
⑥-⑦をすると
$$ e^{\frac{W}{T}x}-e^{-\frac{W}{T}x}=2p $$
$$ p=\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\frac{W}{T}x}-e^{-\frac{W}{T}x} }{2}・・・⑧$$
⑧の両辺をxで積分すると
$$ y=\frac{T}{W}\frac{e^{\frac{W}{T}x}+e^{-\frac{W}{T}x} }{2}+B $$
B:積分定数
Bを求めます。x=0⇒y=0より
$$ 0=\frac{T}{W}\frac{e^{\frac{W}{T}0}+e^{-\frac{W}{T}0} }{2}+B=\frac{T}{W}+B $$
$$ B=-\frac{T}{W} $$
よって、
$$ y=\frac{T}{W}\frac{e^{\frac{W}{T}x}+e^{-\frac{W}{T}x} }{2}-\frac{T}{W} ・・・⑨$$
たるみDを求めるために
ここまできたらゴールは目の前です!
$$ D=\frac{WS^2}{8T}$$
を求めるためにマクローリン展開を使います、このようなものです。
$$ e^{\frac{x}{a}}≒1+\frac{x}{a}+\frac{x^2}{2a^2}+\frac{x^3}{6a^3} $$
$$ e^{-\frac{x}{a}}≒1-\frac{x}{a}+\frac{x^2}{2a^2}-\frac{x^3}{6a^3} $$
これらの式に1/a=W/Tを代入すると
$$ e^{\frac{W}{T}x}≒1+\frac{W}{T}x+\frac{1}{2}(\frac{W}{T})^{2}x^2+\frac{1}{6}(\frac{W}{T})^{3}x^3 $$
$$ e^{-\frac{W}{T}x}≒1-\frac{W}{T}x+\frac{1}{2}(\frac{W}{T})^{2}x^2-\frac{1}{6}(\frac{W}{T})^{3}x^3 $$
これらを⑨式に代入すると
$$ y=\frac{T}{W}\frac{2+(\frac{W}{T})^{2}x^2}{2}-\frac{T}{W}=\frac{1}{2}\frac{W}{T}x^2 $$
これにy=D,x=S/2を代入すると、、、
$$ D=\frac{1}{2}\frac{W}{T}(\frac{S}{2})^2=\frac{WS^2}{8T} $$
線の長さlを求めるために
いよいよ線の長さの公式を求めます。
⑧に話を戻します。
$$ p=\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\frac{W}{T}x}-e^{-\frac{W}{T}x} }{2}・・・⑧$$
①式を思い出しましょう。
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{Wl}{T}・・・① $$
⑧に①を代入します。
$$ l=\frac{T}{W}\frac{e^{\frac{W}{T}x}-e^{-\frac{W}{T}x} }{2}・・・⑩$$
公式を求めるためにここでもマクローリン展開を使います。上にあったものを下にもってきました。
$$ e^{\frac{x}{a}}≒1+\frac{x}{a}+\frac{x^2}{2a^2}+\frac{x^3}{6a^3} $$
$$ e^{-\frac{x}{a}}≒1-\frac{x}{a}+\frac{x^2}{2a^2}-\frac{x^3}{6a^3} $$
これらの式に1/a=W/Tを代入すると
$$ e^{\frac{W}{T}x}≒1+\frac{W}{T}x+\frac{1}{2}(\frac{W}{T})^{2}x^2+\frac{1}{6}(\frac{W}{T})^{3}x^3 $$
$$ e^{-\frac{W}{T}x}≒1-\frac{W}{T}x+\frac{1}{2}(\frac{W}{T})^{2}x^2-\frac{1}{6}(\frac{W}{T})^{3}x^3 $$
これらを⑩に代入すると
$$ l=\frac{T}{W}\frac{2\frac{W}{T}x+\frac{1}{3}(\frac{W}{T})^3x^3}{2}=x+\frac{1}{6}(\frac{W}{T})^2x^3 $$
この式にx=S/2を代入すると
$$ l=\frac{S}{2}+\frac{1}{6}(\frac{W}{T})^2\frac{S^3}{8}・・・⑪ $$
⑪からWとTを消すためにたるみの公式を使います。以下のように式変形します。
$$ D=\frac{WS^2}{8T}⇒D^2=\frac{W^2S^4}{64T^2}$$
これを⑪に代入すると、
$$ l=\frac{S}{2}+\frac{8}{6}\frac{D^2}{S}・・・⑫ $$
おしいです!この長さは図の赤の実践部分になります。赤色の破線部分を含めた全長を求めるためには⑫を2でかける必要があります。
⑫*2をすると線の長さは、、、
$$ l=S+\frac{8D^2}{3S} $$
これで証明はおわりです。いかがでしたか!?
これを自力で証明できたら大したものです!
私は文献をあさってようやく導出できました。。
いつになるかわかりませんが、またなぜなぜシリーズでお会いしましょう!
本日はここまでです、毎度ありがとうございます。
